射。】
【取π_α: e_α→ e_α为投影算子，定义φ_α=π_α° r_α。则族{φ_α}构成x上的一个“局部对偶框架”。】
【......那么，在不可分banach空间上，控制列框架的成立等价于存在一族可分闭子空间，其并稠密，且控制列在每个子空间上一致收敛！】
手中的粉笔落下最后一个符号，韩川转身看向这位提问的博士学长，笑着开口道。
“懂了吗？”
教室中，提问的博士生盯着黑板上的算式看了好一会，才缓缓点了点头，坐了下去。
很快，在这位博士生坐下去后，教室中又一只手臂举了起来。
“非自反空间的推广那一步，你用banach-steinhaus定理保证了范数一致有界性。但banach-steinhaus定理的前提是‘逐点有界’。这个‘逐点有界’的条件，你是怎么从前面的假设里导出来的？”
韩川转过身，拿起粉笔，在黑板上写下了两行推导。
“原函数列{f?}一致收敛，意味着对每个x∈e，{f?(x)}是一个收敛数列。收敛数列必有界，所以存在一个常数m_x，使得对所有n，|f?(x)|≤m_x。”
“用这个m_x构造对偶基的逐点有界性，再用banach-steinhaus导出范数一致有界。逻辑链条是：一致收敛→逐点有界→范数一致有界→控制列存在。”
“明白了吗？”
.....
提问还在继续。
一个接一个的问题被抛过来，韩川一个接一个地回答。
从banach空间的自反性讨论到控制列的构造唯一性，从fre标架的退化条件追问到狄利克雷判别法的边界情形。
一堂课，将近五十分钟的时间渐渐过去。
讲台上，韩川的嗓子
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